Çaprazlanmış Cat1-Modüller

Gruplar üzerindeki çaprazlanmış modüllerin homotopi 2-tipten bağlantılı uzayların bir cebirsel modeli olduğu iyi bilinen bir gerçektir. Ayrıca cat1?gruplar ve grupların kategorisindeki iç kategoriler, diğer bir ifadeyle 2-gruplar veya grup-grupoidler, kategoriksel olarak gruplar üzerindeki çaprazlanmış modüllere denktirler. Bu çalışmada, homotopi 3-tipten bağlantılı uzayların yeni bir cebirsel modeli olarak cat1?grupların kategorisindeki çaprazlanmış modül, yani çaprazlanmış cat1?modül, cebirsel yapısı karakterize edilip bazı özellikleri incelenmiştir. Ayrıca çaprazlanmış cat1-modüllerin kategoriksel olarak gruplar üzerindeki çaprazlanmış karelere ve böylece cat2?gruplara denk oldukları gösterilmiştir.

It is well known that crossed modules over groups are an algebraic model of homotopy 2-type connected spaces. Moreover, cat1?groups and internal categories in the category of groups, i.e. 2-groups or group-groupoids, are categorically equivalent to crossed modules over groups. In this study, as a new algebraic model of homotopy 3-type connected spaces, the algebraic structure of the crossed module on the category of cat1?groups, i.e. the crossed cat1?module, is characterized and some of its properties are studied. It is also shown that crossed cat1?modules are categorically equivalent to crossed squares over groups and hence to cat2?groups.